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    （05年全国卷Ⅲ理）（12分）

       设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。

    （Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；

    （Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。

    解析：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等，

              ∵抛物线的准线是轴的平行线，，依题意不同时为0

    ∴上述条件等价于

    ∵

    ∴上述条件等价于

    即当且仅当时，经过抛物线的焦点。

    （Ⅱ）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程

            得

      为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即

    设的中点的坐标为，则

    ，

    由，得，于是

    即得在轴上截距的取值范围为

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