Question

已知△ABC内接于⊙O，BT为⊙O的切线，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．
（Ⅰ）如图甲，求证：当点P在线段AB上时，PA•PB=PE•PF；
（Ⅱ）如图乙，当点P在线段AB的延长线上时，（Ⅰ）的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图甲，∵EB为⊙O的切线，
∴∠ACB=∠ABE，再由EF∥BC可得∠AFP=∠ACB，故∠AFP=∠ABE．
由于∠AFP=∠EPB，∴△APF∽△BPE．
∴=，
∴PA•PB=PE•PF．
（Ⅱ）如图乙，当点P在线段AB的延长线上时，（Ⅰ）的结论仍成立．
∵EB为⊙O的切线，
∴∠ACB=∠ABT，再由EF∥BC可得∠ACB=∠ABT=∠AFP，又∠ABT=∠PBE，
∴∠AFP=∠PBE．
再由∠BPE=∠FPA，可得△PAF∽△PEB，
∴=，
∴PA•PB=PE•PF．
分析：（Ⅰ）证明：如图甲，利用圆周角、弦切角间的关系证明△APF∽△BPE，根据成比例线段证明 PA•PB=PE•PF 成立．
（Ⅱ）如图乙，当点P在线段AB的延长线上时，（Ⅰ）的结论仍成立．先证明∠AFP=∠PBE，再由∠BPE=∠FPA，可得△PAF∽△PEB，根据成比例线段证明 PA•PB=PE•PF 成立．
点评：本题主要考查圆的相交弦及切线的性质，用三角形全等证明线段间的关系，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．