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    （2012•山东）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为
    3
    4
    ．
    （Ⅰ）求抛物线C的方程；
    （Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
    （Ⅲ）若点M的横坐标为
    		2
    ，直线l：y=kx+
    1
    4
    与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当
    1
    2
    ≤k≤2时，|AB|2+|DE|2的最小值．
    分析：（Ⅰ）通过F（0，
    P
    2
    ），圆心Q在线段OF平分线y=
    p
    4
    上，推出求出p=1，推出抛物线C的方程．
    （Ⅱ）假设存在点M（x0，
    x02
    2
    ），（x0＞0）满足条件，抛物线C在点M处的切线的斜率为函数的导数，求出Q的坐标，利用|QM|=|OQ|，求出M（
    		2
    ，1    ）．使得直线MQ与抛物线C相切与点M．
    （Ⅲ）当x0=
    		2
    时，求出⊙Q的方程为．利用直线与抛物线方程联立方程组．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，求出|AB|2．同理求出|DE|2，通过|AB|2+|DE|2的表达式，通过换元，利用导数求出函数的最小值．
    解答：解：（Ⅰ）由题意可知F（0，
    P
    2
    ），圆心Q在线段OF平分线y=
    p
    4
    上，
    因为抛物线C的标准方程为y=-
    p
    2
    ，
    所以
    3p
    4
    =
    3
    4
    ，即p=1，
    因此抛物线C的方程x2=2y．
    （Ⅱ）假设存在点M（x0，
    x02
    2
    ），（x0＞0）满足条件，
    抛物线C在点M处的切线的斜率为
    y′
    |
     
    x=x0
    =(
    x2
    2
    ) ′  
    |
     
    x=x0
    =x0．
    令y=
    1
    4
    得，xQ=
    x0
    2
    +
    1
    4x0
    ，
    所以Q（
    x0
    2
    +
    1
    4x0
    ，
    1
    4
    ），
    又|QM|=|OQ|，
    故( -
    x0
    2
    +
    1
    4x0
    )    2    +(
    1
    4
    -
    x02
    2
    )     2    =(
    x0
    2
    +
    1
    4x0
    )    2    +
    1
    16
    ，
    因此(
    1
    4
    -
    x02
    2
    )     2    =
    9
    16
    ．又x0＞0．
    所以x0=
    		2
    ，此时M（
    		2
    ，1    ）．
    故存在点M（
    		2
    ，1    ），使得直线MQ与抛物线C相切与点M．
    （Ⅲ）当x0=
    		2
    时，由（Ⅱ）的Q（
    5
    		2
    8
    ，
    1
    4
    ），⊙Q的半径为：r=
    		(
    5
    		2
    8
    )    2    +(
    1
    4
    )    2
    =
    3
    		6
    8
    ．
    所以⊙Q的方程为(x-
    5
    		2
    8
    )    2    +(y-
    1
    4
    )    2    =
    27
    32
    ．
    由
    y=
    1
    2
    x2
    y=kx+
    1
    4
    ，整理得2x2-4kx-1=0．
    设A（x1，y1），B（x2，y2），由于△=16k2+8＞0，x1+x2=2k，x1x2=-
    1
    2
    ，
    所以|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+k2）（4k2+2）．
    由
    (x-
    5
    		2
    8
    )    2    +(y-
    1
    4
    )    2    =
    27
    32
    y=kx+
    1
    4
    ，整理得（1+k2）x2-
    5
    		2
    4
    x-
    1
    16
    =0    ，
    设D，E两点的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），
    由于△=
    k2
    4
    +
    27
    8
    ＞0，x3+x4=
    5
    		2
    4(1+ k 2)
    ，x3x4=-
    1
    16(1+ k 2)
    ．
    所以|DE|2=（1+k2）[（x3+x4）2-4x3x4]=
    25
    8(1+ k 2)
    +
    1
    4
    ，
    因此|AB|2+|DE|2=（1+k2）（4k2+2）+
    25
    8(1+ k 2)
    +
    1
    4
    ，令1+k2=t，由于
    1
    2
    ≤t≤5    ，则
    5
    4
    ≤t≤5    ，
    所以|AB|2+|DE|2=t（4t-2）+
    25
    8t
    +
    1
    4
    =4t2-2t+
    25
    8t
    +
    1
    4
    ，
    设g（t）=4t2-2t+
    25
    8t
    +
    1
    4
    ，t∈ [
    5
    4
    ，5]    ，因为g′（t）=8t-2-
    25
    8t2
    ，
    所以当t∈ [
    5
    4
    ，5]    ，g′（t）≥g′（
    5
    4
    ）=6，
    即函数g（t）在t∈ [
    5
    4
    ，5]    是增函数，所以当t=
    5
    4
    时，g（t）取最小值
    13
    2
    ，
    因此当k=
    1
    2
    时，|AB|2+|DE|2的最小值为
    13
    2
    ．
    点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，设而不求的解题方法，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．
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