Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别为棱DD₁和AB上的点，则下列说法正确的是

 

．（填上所有正确命题的序号）
①A₁C⊥平面B₁EF
②在平面A₁B₁C₁D₁内总存在与平面B₁EF平行的直线；
③△B₁EF在侧面BCC₁B₁上的正投影是面积为定值的三角形；
④当E，F为中点时，平面B₁EF截该正方体所得的截面图形是六边形；
⑤当DE=

2

3

，AF=

1

2

时，平面B₁EF与棱AD交于点P，则AP=

3

4

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离,简易逻辑

分析：由正方体的结构特征，对所给的几个命题用线面，面面之间的位置关系直接判断正误即可得到答案．

解答： 解：对于①，A₁C⊥平面B₁EF不一定成立，
∵A₁C⊥平面AC₁D，而两个平面面B₁EF与面AC₁D不一定平行．

对于②，在平面A₁B₁C₁D₁内总存在与平面B₁EF平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；
对于③，△B₁EF在侧面BCC₁B₁上 的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论．
∵其投影三角形的一边是棱BB₁，而E点在面上的投影到此棱BB₁的距离是定值，故正确；
对于④，当E，F为中点时平面B₁EF截该正方体所得的截面图形是五边形B₁QEPF，故原结论不正确；

对于⑤，由面面平行的性质定理可得EQ∥B₁F，故D₁Q=

1

6

，B₁Q∥PF，故AP=

3

5

，故⑤不正确．
故正确的命题有：②③．
故答案为：②③．

点评：本题考点是棱柱的结构特征，考查对正方体的几何特征的了解，以及线面垂直，线面平行等位置关系的判定，涉及到的知识点较多，综合性强．