Question

2．若$f（x）={x^2}+2\int_0^1{f（x）dx，}$则$\int_0^1{f（x）dx=}$-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 两边取定积分，即可得到关于${∫}_{0}^{1}$f（x）dx的方程解得即可．

解答 解：$f（x）={x^2}+2\int_0^1{f（x）dx，}$
两边同时取积分，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$x²dx+${∫}_{0}^{1}$[2${∫}_{0}^{1}$f（x）dx]dx，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{0}^{1}$x+[2${∫}_{0}^{1}$f（x）dx]x|${\;}_{0}^{1}$，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{1}{3}$+2${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=-$\frac{1}{3}$
故答案为：$-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了定积分的计算；解答本题的关键是两边取定积分，属于基础题．