Question

已知函数f（x）=sinx-cosx，x∈R．
（1）求函数f（x）在[0，2π]内的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x=x₀处取到最大值，求f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）的值；
（3）若g（x）=e^x（x∈r），求证：方程f（x）=g（x）在[0，+∞）内没有实数解．
（参考数据：ln2≈0.69，π≈3.14）

Answer 1

分析：（1）在f（x）中提出

2

凑出两角和的正弦公式，利用两角差的正弦公式化简f（x）；令整体角在正弦的递增区间上，求出x的范围即为递增区间．
（2）通过整体角处理的方法，令整体角等于2kπ+

π

2

求出角x₀，代入求出f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）的值．
（3）通过分段讨论求出两个函数的最值，判断出两个函数的交点情况，得到方程解的情况．

解答：解：（1）f（x）=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，
令x-

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

](k∈z)
则x∈[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

](k∈Z)，（2分）
由于X∈[0，2π]，则f（x）在[0，2π]内的单调递增区间为[0，

3π

4

]和[

7π

4

，2π]；
（2）依题意，x0=2kπ+

3π

4

(k∈Z)，（6分）
由周期性，f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）
=(sin

3π

4

-cos

3π

4

)+(sin

3π

2

-cos

3π

2

)+(sin

9π

4

-cos

9π

4

)=

2

-1；（8分）
（3）函数g（x）=e^x（x∈R）为单调增函数，
且当x∈[0，

π

4

]时，f（x）≤0，g（x）=e^x＞0，此时有f（x）＜g（x）；（10分）
当x∈[

π

4

，+∞)时，由于lne

π

4

=

π

4

≈0.785，而ln

2

≈0.345，
则有lne

π

4

＞ ln

2

，即g(

π

4

)=e

π

4

＞

2

，
又Qg（x）为增函数，∴当x∈[

π

4

，+∞)时，g(x)＞

2

（12分）
而函数f（x）的最大值为

2

，即f(x)≤

2

，
则当x∈[

π

4

，+∞时，恒有f（x）＜g（x），
综上，在[0，+∞）恒有f（x）＜g（x），
即方程f（x）=g（x在[0，+∞）内没有实数解．（14分）

点评：本题考查两个角的和差的正弦公式、考查整体角处理的思想方法、考查方程解的情况转化为函数交点的情况．