Question

已知函数处取得极值.
（1）求实数a的值，并判断上的单调性；
（2）若数列满足；
（3）在（2）的条件下，
记
求证：

Answer 1

（1）1 在上是增函数.（2）见解析（3）见解析

（1）
由题知，即a-1=0，∴a=1.
则
∵x≥0，∴≥0，≥0，又∵＞0，∴x≥0时，≥0，
∴在上是增函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∴
下面用数学归纳法证明＞0.①当n=1时，=1＞0成立；
②假设当时，＞0,∵在上是增函数，
∴＞∴＞0成立，综上当时，＞0.
又∵＞0,1+＞1,∴＞0,∵＞0,
∴＜，
而=1,∴≤1，综上，0＜≤1.（3）∵0＜＜≤1，
∴＜,∴＜,∴＜,
∴＞＞0,
∴=·…＜·…… =ⁿ.
∴S_n＝++…+
＜+()²+…+()ⁿ
＝＜==1.
∴S_n＜1.