Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．如果函数
f（x）=ax²+bx+1（a＞0）有两个相异的不动点x₁，x₂．
（1）若x₁＜1＜x₂，且f（x）的图象关于直线x=m对称，求证：

1

2

＜m＜1；
（2）若|x₁|＜2且|x₁-x₂|=2，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出g（x）=f（x）-x的解析式，因为x₁＜1＜x₂＜2且a＞0得到x₁x₂＜（x₁+x₂）-1，由函数图象关于直线x=m对称得到m的范围，又因为x₁x₂＞x₁得到m的范围，求出公共解集即可；
（2）根据根于系数的关系得到x₁，x₂同号，分两个区间讨论绝对值的取值得到g（2）＜0或g（-2）＜0得出b的取值范围即可．

解答：（1）证明：g（x）=f（x）-x=ax²+（b-1）x+1?且a＞0∵x₁＜1＜x₂＜2
∴（x₁-1）（x₂-1）＜0即x₁x₂＜（x₁+x₂）-1
于是x=m=-

b

2a

=

1

2

(-

b-1

a

-

1

a

)=

1

2

(x1+x2)-

1

2

x1x2
＞

1

2

(x1+x2)-

1

2

[（x₁+x₂）-1]=

1

2

又∵x₁＜1＜x₂＜2∴x₁x₂＞x₁于是有m=

1

2

（x₁+x₂）-

1

2

x₁x₂＜

1

2

（x₁+x₂）-

1

2

x₁=

1

2

x₂＜1∴

1

2

＜m＜1
（2）解：由方程g(x)=ax2+(b-1)x+1=0，可知x1x2=

1

a

＞0，∴x₁x₂同号
（ⅰ）若0＜x₁＜2则x₂-x₁=2
∴x₂=x₁+2＞2∴g（2）＜0
即4a+2b-1＜0①
又（x₂-x₁）²=

(b-1)2

a2

-

4

a

=4
∴2a+1=

(b-1)2+1

，（∵a＞0）代入①式得2

(b-1)2+1

＜3-2b，解之得：b＜

1

4

（ⅱ）若-2＜x₁＜0，则x₂=-2+x₁＜-2∴g（-2）＜0，即4a-2b+3＜0②
又2a+1=

(b-1)2+1

代入②得2

(b-1)2+1

＜2b-1解之得b＞

7

4

综上可知b的取值范围为{b|b?

1

4

或b?

7

4

}

点评：考查学生方程与函数综合运用的能力，分类讨论的数学思想，以及灵活运用不等式解决数学问题的能力．