Question

（本小题满分12分）已知函数y=f(x)在定义域（—1+∞）内满足f(o)=0，且f^／(x)= ，(f^／(x))是f(x)的导数）
（Ⅰ）求f(x)的表达式.
（Ⅱ）当a=1时，讨论f(x)的单调性
（Ⅲ）设h(x)=（e^x—P）²＋（x－P）²，证明：h(x)≥

Answer 1

（Ⅰ）f(x)＝ln(1+x)—ax.
（Ⅱ）f(x)在（－1，0）上单调增，在（0，＋∞）上单调减；
（Ⅲ）h(x)＝（e^x－P）²＋（P－x）²≥。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）利用函数y=f(x)在定义域（—1+∞）内满足f(o)=0，且f^／(x)= ,可以得到函数的解析式。
（2）根据a=1，分析f(x)= ln(1+x)—x.  (x＞－1)
，求解导数，然后令导数大于零或者小于零得到单调区间，进而得结论。
（3）根据由（Ⅱ）知f(x)≤f(0)＝0在（－1，＋∞）内恒成立
∴ln (1＋x) ≤x
∴e^x≥1＋x  e^x－x≥1   ∴（e^x－x）²≥1，从而证明不等式。
（Ⅰ）由f^／(x)＝.可得f(x)=ln(1+x)—ax+b，b为实常数.又f(0)＝0b＝0.
f(x)＝ln(1+x)—ax.
（Ⅱ）当a=1时，f(x)= ln(1+x)—x.  (x＞－1)
f^／(x)＝　　　∵x＞－1
由f^／(x)＝0x＝0 ∴当x∈（－1，0]时f^／(x)≥0，此时f(x)递增
当x∈（0，＋∞）时，f^／(x)＜０，此时f(x)递减
即f(x)在（－1，0）上单调增，在（0，＋∞）上单调减…………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f(x)≤f(0)＝0在（－1，＋∞）内恒成立
∴ln (1＋x) ≤x
∴e^x≥1＋x  e^x－x≥1   ∴（e^x－x）²≥1
∴≤≤（e^x－P）²＋（P－x）²
即h(x)＝（e^x－P）²＋（P－x）²≥…………………………12分