Question

如图，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，，AB=AD=A₁B=2CD，侧面A₁ADD₁为正方形．
（1）求直线A₁A与底面ABCD所成角的大小；
（2）求二面角C-A₁B-A正切值的大小；
（3）在棱C₁C上是否存在一点P，使得 D₁P∥平面A₁BC，若存在，试说明点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）做出辅助线，根据面面垂直得到线线垂直，进而得到线面垂直，得到∠A₁AB为直线A₁A与平面ABCD所成的角．求出结果
（2）做出辅助线，过O作OH⊥A₁B，垂足为H，连接CH．根据OC∥DA，DA⊥平面AA₁B₁B，得到CO⊥平面AA₁B₁B．得到∠CHO为二面角C-A₁B-A的平面角，在三角形求出角的正切值
（3）结论是存在．当点P为棱C₁C中点时，D₁P∥平面A₁BC．根据线面平行的判定定理整出结论．
解答：解：（1）取AB中点O，连接A₁O．设AB=a．∵AD⊥AA₁，AD⊥AB，AA₁∩AB=A，
∴AD⊥平面AA₁B₁B，AD?而ABCD∴平面AA₁B₁B⊥平面ABCD．
∵AB=AA₁=A₁B=a，∴A₁O⊥AB，∴A₁O⊥平面ABCD．
∴∠A₁AB为直线A₁A与平面ABCD所成的角．
∵∠A₁AB=60°，∴直线A₁A与平面ABCD所成角的大小为60°
（2）过O作OH⊥A₁B，垂足为H，连接CH．∵OC∥DA，DA⊥平面AA₁B₁B，
∴CO⊥平面AA₁B₁B．
∵OH⊥A₁B，∴CH⊥A₁B．∴∠CHO为二面角C-A₁B-A的平面角．
在正△A₁AB中，，
在Rt△COH中，．
∴二面角C-A₁B-A正切值的大小为．
（3）存在．当点P为棱C₁C中点时，D₁P∥平面A₁BC．
证明如下
延长D₁P与DC交于Q，连接BQ，∵点P为棱C₁C中点，
∴PC为△D₁DQ的中位线．∴QC=DC．
由条件，得四边形ABQD为正方形．
∴BQ=AD=A₁D₁，且BQ∥AD∥A₁D₁．
则四边形A₁BQD₁是平行四边形．
∴D₁P∥A₁B．∵D₁P?平面A₁BC．A₁B?平面A₁BC．
∴D₁P∥平面A₁BC．
点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于中档题．