Question

15．设命题p：?x∈[1，2]，x-lnx-a＜1为真命题，则实数a的取值范围为a＞1-ln2．

Answer 1

分析 由已知可得x-lnx-1＜a，x∈[1，2]恒成立，令f（x）=x-lnx-1，求出函数的最大值，可得实数a的取值范围．

解答 解：∵命题p：?x∈[1，2]，x-lnx-a＜1为真命题，
∴x-lnx-1＜a，x∈[1，2]恒成立，
令f（x）=x-lnx-1，则f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
当x∈[1，2]时，f′（x）≥0恒成立，即f（x）为增函数，
故当x=2时，函数取最大值1-ln2，
故a＞1-ln2，
故答案为：a＞1-ln2

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，解答的关键是构造函数，将问题转化为求函数的最值问题．