Question

某个凸多面体有32个面，各面是三角形或五边形，每个顶点处的棱数都相等，则这个凸多
面体的顶点数可以是
（A）60          （B）45             （C）30           （D）15

Answer 1

C

设这个凸多面体有n个面是三角形，则是五边形的面有32－n个，此时总棱数
条．
由欧拉定理可知，V＋32－E＝2，
∴V＝50－n．
又设每个顶点处的棱数为m条(其中3≤m≤5且m∈N*)，由于每个顶点处的棱数都相等，则总棱数条，由欧拉定理可知，，
∴50－n＝(其中3≤m≤5且m∈N*)．然后讨论这个不定方程的自然数解：
当m＝3时，可得n＝－10，不合题意，舍去；
当m＝4时，可得n＝20，∴V＝30；
当m＝5时，可得n＝30，∴V＝20．