【题目】已知曲线Cx2﹣y2=1及直线l:y=kx﹣1.
(1)若l与C左支交于两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若l与C交于A、B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为 ,求实数k的值.
【答案】
(1)解:由 消去y,得(1﹣k2)x2+2kx﹣2=0.
∵l与C左支交于两个不同的交点
∴ 且 x1+x2=﹣ <0,x1x2=﹣ >0
∴k的取值范围为 (﹣ ,﹣1)
(2)解:设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由(1)得 x1+x2=﹣ ,x1x2=﹣ .
又l过点D(0,﹣1),
∴S△OAB= |x1﹣x2|= .
∴(x1﹣x2)2=(2 )2,即(﹣ )2+ =8.
∴k=0或k=±
【解析】(1)将直线与双曲线联立,利用l与C左支交于两个不同的交点,结合韦达定理,建立不等式,从而可求实数k的取值范围;(2)利用韦达定理,结合△AOB的面积为 ,可建立k的方程,从而可求实数k的值.
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【题目】已知过双曲线C: =1(a>0,b>0)的中心的直线交双曲线于点A,B,在双曲线C上任取与点A,B不重合的点P,记直线PA,PB,AB的斜率分别为k1 , k2 , k,若k1k2>k恒成立,则离心率e的取值范围为( )
A.1<e<
B.1<e≤
C.e>
D.e≥
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【题目】如图,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC
(1)证明:A1C⊥平面BED;
(2)求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值.
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【题目】如图,已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,M,N分别是BC,AE,CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.求证:MN∥平面ADD1A1 .
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【题目】已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.
(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
(2)若l过点( ,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.
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【题目】已知圆x2+y2-4ax+2ay+20a-20=0.
(1)求证:对任意实数a,该圆恒过一定点;
(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求a的值.
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