Question

如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点．
求证：（1）FD∥平面ABC；
（2）平面EAB⊥平面EDB．

Answer 1

证明：（1）取AB中点G，连CG，FG
四边形DEGC是平行四边形，
得到DF∥CG
DF?平面ABC，CG?平面ABC
所以FD∥平面ABC；
（2）可以证明CG⊥平面EAB，
又DF∥CG，所以DF⊥平面EAB
DF?平面EBD，所以，平面EAB⊥平面EDB
分析：（1）取AB中点G，连CG，FG，由已知中F是BE的中点，结合三角形中位线的性质，可得FG平行且等于AE的一半，又由EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=2a，DC=a，可得四边形DEGC是平行四边形，进而得到DF∥CG，由线面平行的判定定理即可得到FD∥平面ABC；
（2）由已知中EA垂直于平面ABC，则EA⊥CG，又由△ABC是正三角形，可得CG⊥AB，由线面垂直的判定定理，可得CG⊥平面EAB，进而DF⊥平面EAB，结合面面垂直的判定定理即可得到平面EAB⊥平面EDB．
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中熟练掌握线面平行及线面垂直、面面垂直的判定方法及证明步骤是解答本题的关键．