Question

3．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，若|FA|=|FB|，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{3}-1$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可知：△AFB为等腰直角三角形，则A，B位于椭圆的短轴的端点，可得a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$c，根据离心率公式即可求得椭圆C的离心率．

解答 解：由$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，则$\overrightarrow{FA}$⊥$\overrightarrow{FB}$，
由|FA|=|FB|，则△AFB为等腰直角三角形，
则A，B位于椭圆的短轴的端点，
则a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
∴椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选B．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，考查向量的垂直的充要条件，考查计算能力，属于基础题．