分析 (Ⅰ)求出a1=2.利用Sn-Sn-1,推出关系式,判断数列是等比数列,求出通项公式.
(Ⅱ)由(Ⅰ)求出${b_n}=\frac{n}{2^n}$,利用错位相减法求解数列的和即可.
解答 (本小题满分12分)
解:(Ⅰ)当n=1时,由2a1=S1+2=a1+2,得a1=2.(1分)
当n≥2时,由$\left\{\begin{array}{l}2{a_n}={S_n}+2\\ 2{a_{n-1}}={S_{n-1}}+2\end{array}\right.$(3分)
两式相减并化简得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2$,(4分)
所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故${a_n}={2^n}$.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知${a_n}={2^n}$,所以${b_n}=\frac{n}{2^n}$,(7分)
所以${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$①(8分)
①式两边乘以$\frac{1}{2}$,得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$②(9分)
①-②得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$(10分)
=$\frac{{\frac{1}{2}×[{1-{{({\frac{1}{2}})}^n}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$(11分)
所以${T_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$.(12分)
点评 本题考查数列的通项公式以及数列求和的方法,考查计算能力.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | y=±$\frac{1}{2}$x | B. | y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x | C. | y=±$\frac{1}{3}$x | D. | y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分而不必要条件 | B. | 必要而不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [2,3] | B. | [1,3] | C. | [1,4] | D. | [2,4] |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | a>b>c | B. | b>a>c | C. | b>c>a | D. | c>a>b |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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时间分组 | 频数 |
[0,20) | 12 |
[20,40) | 20 |
[40,60) | 24 |
[60,80) | 26 |
[80,100) | 14 |
[100,120] | 4 |
非手机迷 | 手机迷 | 合计 | |
男 | 30 | 15 | 45 |
女 | 45 | 10 | 55 |
合计 | 75 | 25 | 100 |
参考数据 | P(k2≥x0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
x0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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