Question

定义F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函数f(x)=F(3，log2(2x-x2+4))，写出函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）令函数g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x₀（-4＜x₀＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围
（Ⅲ）当x，y∈N^*且x＜y时，求证F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

分析：（I）依据F（x，y）的定义，令log2(2x-x2+4)＞0，即可求得f（x）的定义域；
（II）利用题中的定义确定出g（x）的解析式，求出g（x）的导函数，把x=x₀代入导函数求出的导函数值即为-8，列出一个关系式，记作①，把-4＜x₀＜-1记作②，
由log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，把x=x₀代入得到一个不等式，记作③，由①②③即可得到a的取值范围．
（III）令h（x）

ln(1+x)

x

，求出h（x）的导函数，由分母大于0，令分子等于p（x），求出p（x）的导函数，根据p（x）导函数的正负，判断p（x）的增减性，进而得到p（x）小于0，且得到h（x）导函数的正负，得到h（x）的增减性，利用函数的增减性即可得证；

解答：解：（I）log2(2x-x2+4)＞0，即2x-x²+4＞1得函数f（x）的定义域是（-1，3），
（II）g（x）=F（1，log₂（x²+ax²+bx+1））=x³+ax²+bx+1，
设曲线C₂在x₀（-4＜x＜-1）处有斜率为-8的切线，
又由题设log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，g'（x）=3x²+2ax+b，
∴存在实数b使得

3x02+2ax0+b=-8① -4＜x0＜-1② x03+ax02+bx0+1＞1③

有解，
由①得b=-8-3

x

2 0

-2ax0，代入③得-2

x

2 0

-ax0-8＜0，
∴由

2 x 2 0 +ax0+8＞0 -4＜x0＜-1

有解，
得a＜2(-x0)+

8

(-x0)

，因为-4＜x₀＜-1，所以2(-x0)+

8

(-x0)

∈[8，10)，
当a＜10时，存在实数b，使得曲线C在x₀（-4＜x₀＜-1）处有斜率为-8的切线．
（III）令h(x)=

ln(1+x)

x

，x≥1，由h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
又令p(x)=

x

1+x

-ln(1+x)，x＞0，∴p′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0，
∴p（x）在[0，+∞）单调递减．∴当x＞0时有p（x）＜p（0）=0，∴当x≥1时有h'（x）＜0，∴h（x）在[1，+∞）单调递减，
∴1≤x＜y时，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，∴yln（1+x）＞xln（1+y），
∴（1+x）^y＞（1+y）^x
∴当x，y∈N^*且x＜y时，F（x，y）＞F（y，x）．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据导函数的正负确定函数的单调性，考查学生对新问题的分析解决能力．