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    本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分，作答时，先在答题卡上把所选题目对应的题号填入括号中．
    （1）选修4-2：矩阵与变换
    已知二阶矩阵有特征值λ=-1及对应的一个特征向量．
    （Ⅰ）求距阵M；
    （Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x2+2y2=1，求曲线C的方程．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为p2-4pcosθ+3=0．
    （Ⅰ）求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；
    （Ⅱ）设曲线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立．
    （Ⅰ）求实数t的取值范围；
    （Ⅱ）记t的最大值为T，若正实数a、b、c满足a2+b2+c2=T，求a+2b+c的最大值．
    【答案】分析：（1）：（I）根据矩阵的特征值与特征向量的定义建立等式关系，解之即可求出a和d的值，从而求出矩阵M；
    （II）设点A（x，y）为曲线C上的任一点，它在矩阵M的作用下得到的点为A'（x'，y'），然后建立等式关系，将A'（x'，y'）代入方程为x2+2y2=1进行求解即可．

    （2）（Ⅰ）曲线C的参数方程为为参数），消去参数t即得普通方程，再根据极坐标和直角坐标方程的互化公式求得曲线C在极坐标系中的方程．
    （Ⅱ）由（I）把直线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把曲线P的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的半径，求出弦长．

    （3）（I）首先已知不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立，则可以求出f（x）的最小值，使得t≤f（x）min即可．
    （II）由（Ⅰ）知，T=3，即a2+b2+c2=3．由柯西不等式知：（a+2b+c）2≤（a2+b2+c2）（12+22+12），即可求出a+2b+c的最大值．
    解答：解：（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
    （Ⅰ）依题意得：，即，…（2分）
    解得，所以．…（3分）
    （Ⅱ）设曲线C上一点P（x，y）在矩阵M的作用下得到曲线x2+2y2=1上一点P'（x'，y'），
    则，即，…（5分）
    又因为（x'）2+2（y'）2=1，所以（2x+y）2+2（3x）2=1，
    整理得曲线C的方程为22x2+4xy+y2=1．…（7分）

    （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
    （Ⅰ）曲线C的普通方程为x-y-1=0，曲线P的直角坐标方程为x2+y2-4x+3=0．…（3分）
    （Ⅱ）曲线P可化为（x-2）2+y2=1，表示圆心在（2，0），半径r=1的圆，
    则圆心到直线C的距离为，所以．…（7分）

    （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
    （Ⅰ）不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立，则t≤f（x）min，
    又因为f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，所以函数f（x）的最小值为3，
    所以t的取值范围为（-∞，3]．…（3分）
    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，T=3，即a2+b2+c2=3．
    由柯西不等式知：（a+2b+c）2≤（a2+b2+c2）（12+22+12），则（a+2b+c）2≤18．
    所以a+2b+c的最大值为，…（6分）
    当且仅当，，时等号成立．…（7分）
    点评：（1）本小题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想．
    （2）本小题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想，属于基础题．
    （3）此小题主要考查恒成立的问题、柯西不等式，属于基础题型．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，请考生任选2题作答．
    （1）选修4-2：矩阵与变换
    已知a，b∈R，若M=
    -1a
    b3
    所对应的变换TM把直线L：2x-y=3变换为自身，求实数a，b，并求M的逆矩阵．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    已知直线l的参数方程：
    x=t
    y=1+2t
    （t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=2
    		2
    sin(θ+
    π
    4
    )    ．
    ①将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
    ②判断直线l和圆C的位置关系．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求实数x的范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题有（1）、（2）、（3）三个选择题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
    （1）．选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵A=
    1a
    -1b
    ，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=
    2
    1
    ．
    （Ⅰ）求矩阵A；
    （Ⅱ）若向量β=
    7
    4
    ，计算A2β的值．

    （2）．选修4-4：坐标系与参数方程
    已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=
    12
    3cos2θ+4sin2θ
    ，点F1，F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为
    x=2+
    		2
    2
    t
    y=
    		2
    2
    t
    （t为参数，t∈R）．求点F1，F2到直线l的距离之和．
    （3）．选修4-5：不等式选讲
    已知x，y，z均为正数．求证：
    x
    yz
    +
    y
    zx
    +
    z
    xy
    ≥
    1
    x
    +
    1
    y
    +
    1
    z
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
    （1）选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵A=
    12
    34
    ．
    ①求矩阵A的逆矩阵B；
    ②若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x，求直线l的方程．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合．圆C的参数方程为
    x=1+2cosα
    y=-1+2sinα
    （a为参数），点Q极坐标为（2，
    7
    4
    π）．
    （Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程；
    （Ⅱ）若点P是圆C上的任意一点，求P、Q两点距离的最小值．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    （I）关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范围．
    （II）设x，y，z∈R，且
    x2
    16
    +
    y2
    5
    +
    z2
    4
    =1    ，求x+y+z的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
    （Ⅰ）选修4-2：矩阵与变换，
    已知矩阵A=
    01
    a0
    ，矩阵B=
    02
    b0
    ，直线l1    ：x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得直线l2，直线l2又经矩阵B所对应的变换得到直线l3：x+y+4=0，求直线l2的方程．
    （Ⅱ）选修4-4：坐标系与参数方程，
    求直线
    x=-2+2t
    y=-2t
    被曲线
    x=1+4cosθ
    y=-1+4sinθ
    截得的弦长．
    （Ⅲ）选修4-5：不等式选讲，解不等式|x+1|+|2x-4|＞6．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
    （1）已知矩阵M=
    12
    21
    ，β=
    1
    7
    ，（Ⅰ）求M-1；（Ⅱ）求矩阵M的特征值和对应的特征向量；（Ⅲ）计算M100β．
    （2）曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是（2，0），求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长．
    （3）已知a＞0，求证：
    		a2+
    1
    a2
    -
    		2
    ≥a+
    1
    a
    -2    ．

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