Question

【题目】已知数列{an}满足：a1=1，an+1﹣ansin2θ=sin2θcos2nθ．
（Ⅰ）当θ= 时，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若数列{bn}满足bn=sin ，Sn为数列{bn}的前n项和，求证：对任意n∈N* ， Sn＜3+ ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：当 时， ， ，

∴{2n﹣1an}是以1为首项、1为公差的等差数列，2n﹣1an=n，

从而 ．

（Ⅱ）证明： ，

∴当n=1，2，3时， ；

当n≥4时，∵ ， ，

令 ，

两式相减得 ，

．

综上所述，对任意

【解析】（1）当 时， ， ，利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由（1）可得：an= ，可得 ，可得当n=1，2，3时，不等式成立；当n≥4时，由于 ，利用“错位相减法”、等比数列的前n项函数公式即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．