Question

已知函数f（x）=x+lgx．
（Ⅰ）利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
（Ⅱ）证明方程f（x）=3在区间（1，10）上有实数解；
（Ⅲ）若x₀是方程f（x）=3的一个实数解，且x₀∈（k，k+1），求整数k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明：设0＜x₁＜x₂，证明f（x₁）-f（x₂）＜0即可；                                        
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
由g（1）g（10）=（-2）×8＜0，利用函数零点的判定定理即可得出方程f（x）=3在（0，+∞）有实数解．        
（III）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
由g（2）g（3）=（lg2-1）×lg3＜0，且函数y=g（x）在 （0，+∞）是单调递增的．即可得出函数g（x0有唯一的零点x₀∈（2，3）．可得k．

解答：（Ⅰ）证明：设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=x₁+lgx₁-（x₂+lgx₂）=(x1-x2)+lg

x1

x2

．
∵设0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，ln

x1

x2

＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；                                        
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
∵g（1）g（10）=（-2）×8＜0，且y=g（x）的图象在（1，10）是不间断的，
方程f（x）=3在（0，+∞）有实数解．        
（III）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
∵g（2）g（3）=（lg2-1）×lg3＜0，且函数y=g（x）在 （0，+∞）是单调递增的．
∴函数g（x0有唯一的零点x₀∈（2，3）．
故k=2．

点评：熟练掌握函数单调性的定义、函数零点的判定定理等是解题的关键．