Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0 ， 使得当x∈（x0 ， +∞）时，恒有x2＜cex ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex﹣ax，得f′（x）=ex﹣a．

又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，

∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．

由f′（x）=0，得x=ln2，

当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值

（2）证明：令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x，

由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，

∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex

（3）首先证明当x∈（0，+∞）时，恒有 x3＜ex．

证明如下：

令h（x）= x3﹣ex，则h′（x）=x2﹣ex．

由（2）知，当x＞0时，x2＜ex，

从而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减，

所以h（x）＜h（0）=﹣1＜0，即 x3＜ex，

取x0= ，当x＞x0时，有 x2＜ x3＜ex．

因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex

【解析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=ex﹣x2 ， 求出导数，利用（1）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；（3）首先可将要证明的不等式变形为 x2＜ex ， 进而发现当x＞ 时， x2＜ x3 ， 因此问题转化为证明当x∈（0，+∞）时，恒有 x3＜ex ．