Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线方程为，其顶点到焦点的距离为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若点，设直线与抛物线交于、两点，且直线、的斜率之和为，试证明：对于任意非零实数，直线必过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意求出抛物线的焦点坐标，可求得的值，进而可求得抛物线的方程；

（2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据直线、的斜率之和为求得实数的值，即可求得直线所过定点的坐标.

（1），且抛物线的顶点到焦点的距离为，

则该抛物线的焦点坐标为，，解得，

因此，该抛物线的方程为；

（2）设点、，

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，

由韦达定理得，.

直线的斜率为，同理直线的斜率为，

由题意得，

上式对任意的非零实数都成立，则，解得，

所以，直线的方程为，该直线过定点.