Question

如图，四棱锥P-ABCD底面为一直角梯形.BA⊥AD，CD⊥AD.CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点.

(Ⅰ)证明：EB∥面PAD；

(Ⅱ)若PA=AD，证明：BE⊥面PDC；

(Ⅲ)若PA=AD=DC时，求二面角E-BD-C的大小.

Answer 1

答案：解法一：(Ⅰ)证明：取中点为F,连接EF、BF

∴EF∥PD  ∴EF∥平面PAD∵BF∥AD  ∴BF∥平面PAD

∴平面EBF∥平面PAD  ∴EB∥平面PAD

(Ⅱ)证明：∵平面EBF∥平面PAD又CD⊥平面PAD  ∴CD⊥平面EBF,CD⊥EB  ①

∵PA⊥平面ABCD  ∴PA⊥AB∵FB∥DA,CD⊥AD  ∴CF⊥BF

又∵PA=AD=BF,AB=DF=FC∴△PAB≌△BFC,PB=CB

又∵E为PC的中点  ∴BE⊥PC  ②

由①②得BE⊥面PDC

(Ⅲ)连接AC交BF于G,作GH⊥BD于H,连接EG、EH

∵AB∥FC且AB=FC  ∴G为AC中点又∵E是PC的中点  ∴EG∥PA

∴PA⊥面ABCD  ∴EG⊥面ABCD由三垂线定理,知EH⊥DB,则∠EHG即为二面角E-BD-C的平面角不妨设AB=a,则PA=AD=DC=2a

∴EG=PA=a   DF=a DB=a  BG=a

由相似得        

∴tan∠EHG=       ∴∠EHG=arctan

即二面角E-BD-C的平面角为arctan.

解法二：如图建立空间直角坐标系,以A为坐标原点,分别以AB、AD、AP为x,y,z轴,则由图可知A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,b,0),D(0,b,0),P(0,0,c),E(a,,)

(Ⅰ)      ∴   ∴BE∥面PAD

(Ⅱ)∵PA=AD,则=(2a,b,-b),=(2a,0,0)∴  

∴     ∴BE⊥面PDC

(Ⅲ)∵PA=AD=DC∴P(0,0,2a),D(0,2a,0),C(2a,2a,0)

由(Ⅱ)知E(a,a,a),设平面BDE方程为=1,将E代入得m=-2a

∴平面BDE的一个法向量为n₁=(2,1,-1)

又面BDC的一个法向量为n₁=(0,0,2)

∴cos〈n₁,n₂〉=∴二面角E-BD-C的平面角为arccos.