Question

已知数列{an}中，a1=1，an+an+1=2n(n∈N*)，bn=3an．
（I）试证数列{an-

1

3

×2n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（II）在数列{b_n}是，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．
（III）试证在数列{b_n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系．

Answer 1

分析：（I）由a_n+a_n+1=2ⁿ，得a_n+1=2ⁿ-a_n，从而可证

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=-1，即可证得数列{an-

1

3

×2n}是等比数列，并可求数列{b_n}的通项公式；
（II）解：假设在数列{b_n}中，存在连续三项b_k-1，b_k，b_k+1（k∈N^*，k≥2）成等差数列，则b_k-1+b_k+1=2b_k，即2^k-1=4（-1）^k-1．分类讨论，可得在数列{b_n}中，有且仅有连续三项b₂，b₃，b₄成等差数列；
（III）证明：要使b₁，b_r，b_s成等差数列，只需b₁+b_s=2b_r，即2^s-2^r+1=（-1）^s-2（-1）^r-3，（﹡），分类讨论，可知存在不小于4的正偶数s，且s=r+1，使得b₁，b_r，b_s成等差数列．

解答：（I）证明：由a_n+a_n+1=2ⁿ，得a_n+1=2ⁿ-a_n，所以

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

2n-an- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=-1
又因为a₁-

2

3

=

1

3

，所以数列{a_n-

1

3

×2ⁿ}是首项为

1

3

，公比为-1的等比数列．
所以a_n-

1

3

×2ⁿ=

1

3

×（-1）^n-1，即a_n=

1

3

[2ⁿ-（-1）ⁿ]，所以b_n=2ⁿ-（-1）ⁿ．  （5分）
（II）解：假设在数列{b_n}中，存在连续三项b_k-1，b_k，b_k+1（k∈N^*，k≥2）成等差数列，则b_k-1+b_k+1=2b_k，
即[2^k-1-（-1）^k-1]+[2^k+1-（-1）^k+1]=2[2^k-（-1）^k]，即2^k-1=4（-1）^k-1．
①若k为偶数，则2^k-1＞0，4（-1）^k-1=-4＜0，所以，不存在偶数k，使得b_k-1，b_k，b_k+1成等差数列．（7分）
②若k为奇数，则当k≥3时，2^k-1≥4，而4（-1）^k-1=4，所以，当且仅当k=3时，b_k-1，b_k，b_k+1成等差数列．
综上所述，在数列{b_n}中，有且仅有连续三项b₂，b₃，b₄成等差数列．（9分）
（III）证明：要使b₁，b_r，b_s成等差数列，只需b₁+b_s=2b_r，
即3+2^s-（-1）^s=2[2^r-（-1）^r]，即2^s-2^r+1=（-1）^s-2（-1）^r-3，（﹡） （10分）
①若s=r+1，在（﹡）式中，左端2^s-2^r+1=0，
右端（-1）^s-2（-1）^r-3=（-1）^s+2（-1）^s-3=3（-1）^s-3，
要使（﹡）式成立，当且仅当s为偶数时．又s＞r＞1，且s，r为正整数，
所以当s为不小于4的正偶数，且s=r+1时，b₁，b_r，b_s成等差数列．（12分）
②若s≥r+2时，在（﹡）式中，左端2^s-2^r+1≥2^r+2-2^r+1=2^r+1，
由（II）可知，r≥3，所以r+1≥4，所以左端2^s-2^r+1≥16（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“=”）；右端（-1）^s-2（-1）^s-3≤0．所以当s≥r+2时，b₁，b_r，b_s不成等差数列．
综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s=r+1，使得b₁，b_r，b_s成等差数列． （14分）

点评：本题主要考查等比数列的判定和等差数列的应用，考查函数与方程，分类讨论思想，考查推理论证能力．