Question

【题目】设函数，.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若，且函数在区间内有两个极值点，求实数a的取值范围；

（3）求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的，.

Answer 1

【答案】（1）递减区间为，递增区间为；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）求解，利用，，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间；

（2），其中，再次构造函数令，分析的零点情况，，令，，列表分析得出单调性，判断，分类讨论求解①若，②若，③若，的单调性，最大值，最小值，确定有无零点转化为极值即可；

（3）存在：，恒成立，再运用导数判断证明，令，，，求解最大值，得出即可.

（1）当时，，，

令，，列表分析

x		1
		0
	单调递减	极小值	单调递增

故的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2），，其中，

令，分析的零点情况.

，令，，列表分析

x
		0
	单调递减	极小值	单调递增

，

而，，

，

①若，则，

故在内没有极值点，舍；

②若，则，，

，

因此在有两个零点，设为，，

所以当时，单调递增，当时，单调递减，

当时，单调递增，此时在内有两个极值点；

③若，则，，

，因此在有一个零点，

在内有一个极值点；

综上所述，实数a的取值范围为.

（3）存在：，恒成立.

证明如下：

由（2）得在上单调递增，

且，.

因为当时，（*），所以.

故在上存在唯一的零点，设为.

由

x
		0
	单调递减	极小值	单调递增

知，.

又，而时，（**），

所以.

即，.

所以对任意的正数a，都存在实数，使对任意的，使.

补充证明（*）：

令，.，所以在上单调递增.

所以时，，即.

补充证明（**）

令，，，所以在上单调递减.

所以时，，即.