【题目】已知椭圆的方程为,长轴是短轴的倍,且椭圆过点,斜率为的直线过点,坐标平面上的点满足到直线的距离为定值.
(1)写出椭圆方程;
(2)若椭圆上恰好存在个这样的点,求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由长轴长和短轴长关系、椭圆上点的坐标和椭圆的关系可构造方程组求得,进而得到椭圆方程;
(2)将问题转化为与直线的距离为的两条平行线与椭圆恰有三个交点;假设平行直线方程为,与椭圆方程联立确定,由和平行直线间距离公式得到关于的方程,可求得的值;代回验证得到恰有三个交点的情况,由此得到结果.
(1)由题意可知:,解得:
椭圆方程为:
(2)由题意可知,与直线的距离为的两条平行线与椭圆恰有三个交点
直线的方程为 可设与直线平行的直线方程为:
联立方程得:
…①
当时,…②
由两平行线间的距离为,可得:…③
将②代入③得:,解得:或
⑴当时,代入②得:,代回③得:或
当,时,由①知,此时两平行线和与椭圆只有一个交点,不符合题意
⑵当时,代入②得:,代回③得:或
当,时,由①知,此时两平行线和与椭圆有三个交点
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【题目】某赛季甲、乙两位运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示.
(1)从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙的成绩高的概率;
(2)试用统计学中的平均数、方差知识对甲、乙两位运动员的测试成绩进行分析.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知圆及点,.
(1)若直线平行于,与圆相交于,两点,,求直线的方程;
(2)在圆上是否存在点,使得?若存在,求点的个数;若不存在,说明理由.
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【题目】在下列命题中,正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).
①函数的最小值为;
②已知定义在上周期为4的函数满足,则一定为偶函数;
③定义在上的函数既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则;
④已知函数,则是有极值的必要不充分条件;
⑤已知函数,若,则.
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【题目】如图,在直四棱柱中,底面是边长为2的正方形, 分别为线段, 的中点.
(1)求证: ||平面;
(2)四棱柱的外接球的表面积为,求异面直线与所成的角的大小.
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【题目】某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在,,,,,(单位:克)中,经统计,频率分布直方图如图所示:
(1)估计这组数据的平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表);
(2)现按分层抽样从质量为,的芒果中随机抽取5个,再从这5个中随机抽取2个,求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率;
(3)某经销商来收购芒果,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表,用样本估计总体,该种植园中还未摘下的芒果大约还有1000个,经销商提出以下两种收购方案:
方案①:所有芒果以9元/千克收购
方案②:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多.
参考数据:.
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【题目】.
为了解某校高三学生质检数学成绩分布,从该校参加质检的学生数学成绩中抽取一个样本,并分成5组,绘成如图所示的频率分布直方图.若第一组至第五组数据的频率之比为,最后一组数据的频数是6.
(Ⅰ)估计该校高三学生质检数学成绩在125~140分之间的概率,并求出样本容量;
(Ⅱ)从样本中成绩在65~95分之间的学生中任选两人,求至少有一人成绩在65~80分之间的概率.
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