Question

10．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如下图会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么$sin（{θ+\frac{π}{3}}）$=$\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$．

Answer 1

分析 设直角三角形的边长为a，a+1，a²+（a+1）²=25，a＞0．解出利用倍角公式即可得出．

解答 解：设直角三角形的边长为a，a+1，
则a²+（a+1）²=25，a＞0．
解得a=3．
∴sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$．
∴$sin（{θ+\frac{π}{3}}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$．
故答案为$\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$．

点评 本题考查了勾股定理、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．