Question

已知P是抛物线y=2x²+1上的动点，定点A（0，-1），若点M在直线PA上，同时满足：①点M在点P的下方； ②|

PM

|-2|

MA

|=0．则点M的轨迹方程是

y=6x²或y=-2x²-3

．

Answer 1

分析：设出P（x₀，y₀），M（x，y），利用条件：①点M在点P的下方； ②|

PM

|-2|

MA

|=0．得到点M与点P坐标间的关系式，由此关系式代入点P所满足的方程y₀=2x₀²+1，消去x₀和y₀，转化为x、y的方程．

解答：解：由题意，设P（x₀，y₀），M（x，y），
∵点M在点P的下方，|

PM

|-2|

MA

|=0．
当点M在PA之间，则x=

x0

3

，y=

y0-1

3

∴x₀=3x，y₀=3y+1
∵P是抛物线y=2x²+1上的动点，∴y₀=2x₀²+1，
∴y=6x²
当点M在PA延长线时，A为PM的中点，∴x₀=-x，y₀=-2-y
∵P是抛物线y=2x²+1上的动点，∴y₀=2x₀²+1，
∴y=-2x²-3
故答案为y=6x²或y=-2x²-3

点评：本题的考点是圆锥曲线的轨迹问题，主要考查用代入法求轨迹方程，关键是理解题意，将向量条件转化为坐标关系，应特别注意分类讨论，否则会漏解．．