Question

如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC⊥平面APC，AB=BC=AP=PC=

2

，∠ABC=∠APC=90°．
（1）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（2）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为

3 11

11

，求BM的最小值．

Answer 1

分析：（1）取AC中点O，以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面PBC的法向量

n1

=(1，1，1)，利用cos＜

AP

，

n1

＞=

AP • n1

| AP || n1 |

，即可求得直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（2）确定平面PAC的法向量

n2

=(1，0，0)，设M（m，n，0），求出平面PAM的法向量

n3

=(

n+1

m

，-1，1)，利用cos＜

n2

，

n3

＞=

n2 • n3

| n2 || n3 |

=

3 11

11

，即可求得结论．

解答：（1）解：取AC中点O，因为AB=BC，所以OB⊥OC，
∵平面ABC⊥平面APC，平面ABC∩平面APC=AC，∴OB⊥平面PAC
∵OP?平面PAC，∴OB⊥OP…1′
以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
因为AB=BC=PA=

2

，所以OB=OC=OP=1，从而O（0，0，0），B（1，0，0），A（0，-1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），…2′
∴

BC

=(-1，1，0)，

PB

=(1，0，-1)，

AP

=(0，1，1)
设平面PBC的法向量

n1

=(x，y，z)，
由

n1

•

BC

=0，

n2

•

PB

=0得方程组

-x+y=0 x-z=0

，取

n1

=(1，1，1)…3′
∴cos＜

AP

，

n1

＞=

AP • n1

| AP || n1 |

=

6

3

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

6

3

．…4′
（2）由题意平面PAC的法向量

n2

=(1，0，0)，…5′
设平面PAM的法向量为

n3

=(x′，y′，z′)，M（m，n，0）
∵

AP

=(0，1，1)，

AM

=(m，n+1，0)
由

AP

•

n3

=0，

AM

• 

n3

=0得方程组

y′+z′=0 mx′+(n+1)y′

=0，取

n3

=(

n+1

m

，-1，1)，…7′
∴cos＜

n2

，

n3

＞=

n2 • n3

| n2 || n3 |

=

n+1 m

( n+1 m )2+2

∵二面角M-PA-C的余弦值为

3 11

11

，∴

n+1 m

( n+1 m )2+2

=

3 11

11

∴(

n+1

m

)2=9，
∴n+1=3m 或 n+1=-3m（舍去）
∴B点到AM的最小值为垂直距离d=

10

5

．…10′

点评：本题考查线面角，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，解题的关键建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量．