Question

点M（x，y）在运动过程中，总满足下列关系式：
①

x2+(y+3)2

-

x2+(y-3)2

=3；
②

(x+3)2+y2

-

(x-3)2+y2

=±3；
③

x2+(y+3)2

-

x2+(y-3)2

=6；
④

(x-3)2+y2

| 4 3 -x|

=

3

2

⑤

x2

m+1

+

y2

m+3

=1（-2＜m＜-1）；
⑥Ax²-By²=C（A•B＞0）．
则点M的轨迹是双曲线的有

①②④⑤

（请把所有正确结论的序号都填上）．

Answer 1

分析：对于①②③分别根据方程的几何意义和双曲线的定义进行判断；对于④将方程变形、平方后化简，再根据双曲线的标准方程判断；对于⑤由m得范围判断2+m与1+m异号即可；对于⑥根据通过举反例判断．

解答：解：①、方程的几何意义是点M（x，y）与点A（0，-3）、B（0，3）的距离差为3，且3小于|AB|=6，故点M的轨迹是双曲线的上支，符合题意；
②、方程的几何意义是点M（x，y）与点A（-3，）、B（3，0）的距离差为±3，且3小于|AB|=6，故点M的轨迹是双曲线，符合题意；
③、方程的几何意义是点M（x，y）与点A（0，-3）、B（0，3）的距离差为6，且6等于|AB|=6，故点M的轨迹不是双曲线，不符合题意；
④、由式子得

(x-3)2+y2

=

3

2

|

4

3

-x|且x≠

4

3

，两边平方化简得，

x2

4

-

y2

5

=1，故点M的轨迹是双曲线，符合题意；
⑤、∵-2＜m＜-1，∴-1＜m+1＜0，1＜m+3＜2，即（3+m）（1+m）＜0，则⑤符合题意；
⑥、当C=0时，方程为：Ax²-By²=0，应为直线方程，故点M的轨迹不是双曲线，不符合题意；

故答案为：①②④⑤．

点评：本题主要考查了双曲线的定义，解答的关键是将方程转化为几何意义来判断，注意定义中应该是差的绝对值，且差的绝对值小于两定点间的距离，属于基础题．