Question

3．如图，以⊙O的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙O于点DE，求证：BD=DE=EC．

Answer 1

分析 连接OD、OE，构建等边△OBD、△ODE、△OEC；然后由等边三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系证得BD=DE=EC．

解答 证明：如图，连接OD、OE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°．
同理，△EOC是等边三角形，则∠EOC=60°．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠DOE=180°-∠BOD-∠EOC=60°，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{DE}$=$\widehat{EC}$，
∴BD=DE=EC．

点评 本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质以及圆周角、弧、弦的关系．解题的难点是辅助线的做法．