Question

8．已知动圆C与直线x+y+2=0相切于点A（0，-2），圆C被x轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C的半径之积是10．

Answer 1

分析 由已知可得C落在直线x-y-2=0上，设C点坐标为（a，a-2），则圆的半径r=$\sqrt{2}$|a|，利用弦长公式，求出满足条件的a值，可得答案．

解答 解：∵动圆C与直线x+y+2=0相切于点A（0，-2），
故直线AC与直线x+y+2=0垂直，
故C落在直线x-y-2=0上，
设C点坐标为（a，a-2），则圆的半径r=$\sqrt{2}$|a|，
则圆的方程为：（x-a）²+（y-a+2）²=2a²．
令y=0，则（x-a）²+（-a+2）²=2a²，即x²-2ax-4a+4=0，
∵C被x轴所截得的弦长为2，
∴$\sqrt{（-2a）^{2}-4（-4a+4）}$=2，
解得：a=-5，或a=1，
故所有圆C的半径之积为5$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=10，
故答案为：10

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的弦长公式，难度中档．