Question

已知a＞0，函数f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（1）当a=1时，求函数y=f（x）在闭区间[0，2]上的最大值和最小值；
（2）试讨论函数y=f（x）的图象与直线y=a的交点个数．

Answer 1

分析：（1）写出分段函数，确定函数在闭区间[0，2]上的单调性，即可求函数y=f（x）在闭区间[0，2]上的最大值和最小值；
（2）确定y₁=x²-ax+1在[a，+∞）上递增；y₂=-x²+ax+1在（-∞，

a

2

）上递增，在（

a

2

，a）上递减，根据f（a）=1，f（

a

2

）=

a2

4

+1，而f（

a

2

）-a=

a2

4

+1-a=

1

4

（a-2）²≥0，分类讨论，可得函数y=f（x）的图象与直线y=a的交点个数．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x|x-1|+1=

x2-x+1，x≥1 -x2+x+1，x＜1

=

(x- 1 2 )2+ 3 4 ，x≥1 -(x- 1 2 )2+ 5 4 ，x＜1

∴函数在[0，

1

2

]上单调递增，在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
∴函数的最大值为f（2）=3，最小值为f（0）=f（1）=1；
（2）∵a＞0，∴a＞

a

2

，
∴y₁=x²-ax+1在[a，+∞）上递增；y₂=-x²+ax+1在（-∞，

a

2

）上递增，在（

a

2

，a）上递减；
∵f（a）=1，∴当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
又f（

a

2

）=

a2

4

+1，而f（

a

2

）-a=

a2

4

+1-a=

1

4

（a-2）²≥0，
当且仅当a=2时，上式等号成立
∴当0＜a＜1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有1个交点；
当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
当1＜a＜2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点；
当a=2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
当a＞2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点．

点评：本题考查函数的单调性与奇偶性，考查分类讨论的数学思想，考查分段函数的单调性，解题的关键是合理化去绝对值符号．