试题分析:(1)确定抛物线的标准方程,关键是确定
的值.利用
,可得
,
再根据P、Q在抛物线上,得到
,集合已知条件
,得4p
2=4,p=1.
(2)设直线PQ过点
,且方程为
,应用联立方程组
消去x得y
2 2my 2a=0,利用韦达定理,建立
的方程组,确定
得到
,利用“弦长公式”求解.
试题解析: (1)∵ ·=0,则x
1x
2+y
1y
2=0, 1分
又P、Q在抛物线上,故y
12=2px
1,y
22=2px
2,故得
+y
1y
2=0, y
1y
2= 4p
2 3分
又|x
1x
2|=4,故得4p
2=4,p=1.
所以抛物线的方程为:
5分
(2)设直线PQ过点E(a,0)且方程为x=my+a
联立方程组
消去x得y
2 2my 2a=0
∴
① 7分
设直线PR与x轴交于点M(b,0),则可设直线PR方程为x=ny+b,并设R(x
3,y
3),
同理可知
② 9分
由①、②可得
由题意,Q为线段RT的中点,∴ y
3=2y
2,∴b=2a
又由(Ⅰ)知, y
1y
2= 4,代入①,可得
2a= 4 ∴ a=2.故b=4. 11分
∴
∴
.
当n=0,即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值
14分