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(2009•淄博一模)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,PA=PB,PC=PD
(1)证明平面PAB⊥平面ABCD;
(2)如果AD=1,BC=3,CD=4,且侧面PCD的面积为8,求四棱锥P-ABCD的体积.
分析:(1)取AB、CD 的中点E、F.连结PE、EF、PF,由等腰三角形三线合一可得PE⊥AB,PF⊥CD,结合三角形中位线定理及线面垂直及面面垂直的判定定理可得平面PAB⊥平面ABCD;
(2)由侧面PCD的面积为8,求出棱锥的高及底面积,代入棱锥的体积公式,可得答案.
解答:证明:(1)取AB、CD 的中点E、F.连结PE、EF、PF,
由PA=PB、PC=PD
得PE⊥AB,PF⊥CD
∴EF为直角梯形的中位线,∠BCD=90°,
∴EF⊥CD
又PF∩EF=F
∴CD⊥平面PEF
又∵PF?平面PEF,得CD⊥PE
又PE⊥AB且梯形两腰AB、CD必相交
∴PE⊥平面ABCD
又由PE?平面PAB
∴平面PAB⊥平面ABCD
解:(2)∵侧面PCD的面积S=
1
2
•CD•PF=8且CD=4,
∴PF=4
又∵AD=1,BC=3,EF为直角梯形的中位线,
∴EF=
1
2
(AD+BC)=2
又由PE⊥平面ABCD,故PE=2
3

∴四棱锥P-ABCD的体积V=
1
3
•SABCD•PE=
16
3
3
点评:本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,棱锥的体积,(1)的关键是熟练掌握线线垂直,线面垂直及面面垂直的判定及转化,(2)的关键是求出棱锥的高.
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