Question

已知直线l过点P（-1，2），且与以A（-2，-3）、B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围是

（-∞，-

1

2

]∪[5，+∞）

．

Answer 1

分析：先由A、B、P的坐标求得直线AP和BP的斜率，再根据直线l的倾斜角为锐角或钝角加以讨论，将直线l绕P点旋转并观察倾斜角的变化，由直线的斜率公式加以计算，分别得到直线l斜率的范围，最后综合可得答案．

解答：解：∵点P（-1，2）、A（-2，-3），
∴直线AP的斜率k₁=

-3-2

-2+1

=5．同理可得直线BP的斜率k₂=-

1

2

．
设直线l与线段AB交于M点，
当直线的倾斜角为锐角时，随着M从A向B移动的过程中，l的倾斜角变大，
l的斜率也变大，直到PM平行y轴时l的斜率不存在，此时l的斜率k≥5；
当直线的倾斜角为钝角时，随着l的倾斜角变大，l的斜率从负无穷增大到
直线BP的斜率，此时l的斜率k≤-

1

2

．
综上所述，可得直线l的斜率取值范围为：（-∞，-

1

2

]∪[5，+∞）．
故答案为：（-∞，-

1

2

]∪[5，+∞）

点评：本题给出经过定点P的直线l与线段AB有公共点，求l的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．