Question

2．向量$\overrightarrow m=（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，$\overrightarrow n=（sinx，cosx），x∈（0，π）$，①若$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，则tanx=-1；②若$\overrightarrow m$与$\overrightarrow n$的夹角为$\frac{π}{3}$，则x=$\frac{5π}{12}$．

Answer 1

分析 ①利用向量共线的坐标表示可得$sin（x+\frac{π}{4}）=0$，结合x的范围求得x，则tanx可求；
②由向量数量积求夹角公式可得$sin（x-\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，再结合x的范围求得x．

解答 解：$\overrightarrow m=（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，$\overrightarrow n=（sinx，cosx），x∈（0，π）$，
①由$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，得$\frac{\sqrt{2}}{2}cosx+\frac{\sqrt{2}}{2}sinx=0$，即$sin（x+\frac{π}{4}）=0$，
∵0＜x＜π，∴$\frac{π}{4}＜x+\frac{π}{4}＜\frac{5π}{4}$，则x+$\frac{π}{4}=π$，$x=\frac{3}{4}π$．
∴tanx=-1，
②由$\overrightarrow m$与$\overrightarrow n$的夹角为$\frac{π}{3}$，得cos$\frac{π}{3}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}sinx-\frac{\sqrt{2}}{2}cosx}{\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}•\sqrt{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}}$=$sin（x-\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜x＜π，∴$-\frac{π}{4}＜x-\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，则$x-\frac{π}{4}=\frac{π}{6}$，x=$\frac{5π}{12}$．
故答案为：①-1；②$\frac{5π}{12}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的坐标表示，训练了利用向量数量积求夹角公式，是中档题．