Question

【题目】已知函数 ，其中a为常数．
（1）若a=1，判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若函数 在其定义域上是奇函数，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时， ，其定义域为R．

此时对任意的x∈R，都有

所以函数f（x）在其定义域上为奇函数

（2）解：若函数 在其定义域上是奇函数，则对定义域内的任意x，

有：

整理得：a2e2x﹣1=e2x﹣a2，即：e2x（a2﹣1）=1﹣a2对定义域内的任意x都成立．

所以a2=1

当a=1时， ，定义域为R；

当a=﹣1时， ，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．

所以实数a的值为a=1或a=﹣1．

【解析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断．（2）根据函数是奇函数，建立方程关系进行求解即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的奇偶性和函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．