Question

7．过抛物线y²=4x的集点F作斜率为2的直线l，l交抛物线于A、B两点，求以线段AB为直径的圆的方程．

Answer 1

分析 设A，B两点坐标，联立直线与抛物线组成方程组，求得AB的中点坐标，求出AB的长，然后求以AB为直径的圆的方程．

解答 解：由题意，得F（1，0），直线l的方程为y=2x-2．
代入抛物线方程，得x²-3x+1=0，
设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M的坐标为M（x₀，y₀），
因为△=3²-4=5＞0，所以x₁+x₂=3，x₁x₂=1，
所以圆心为M（$\frac{3}{2}$，1），
由抛物线定义，得|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=5（其中p=2）．
所以以AB为直径的圆的方程为（x-$\frac{3}{2}$）²+（y-1）²=$（\frac{5}{2}）^{2}$．

点评 本题考查圆的方程，直线和圆的方程的应用，考查转化思想，函数与方程的思想，是中档题．