Question

某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．
（Ⅰ）写出y与x之间的函数关系式；
（Ⅱ）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）第x年所需维修、保养费用为12+4（x-1），故y与x之间的函数关系为y=50x-

(12+4x+8)x

2

-98x∈N₊．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当y＞0时，开始盈利，解不等式-2x²+40x-98＞0求得x的范围，从而得到结论．

解答：解：（Ⅰ）第二年所需维修、保养费用为12+4万元，
第x年所需维修、保养费用为12+4（x-1）=4x+8，（3分）
维修、保养费用成等差数列递增，依题得：
y=50x-

(12+4x+8)x

2

-98=-2x2+40x-98（x∈N₊）．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当y＞0时，开始盈利，（8分）
解不等式-2x²+40x-98＞0，
得10-

51

＜x＜10+

51

．（10分）
∵x∈N₊，
∴3≤x≤17，故从第3年开始盈利．（12分）

点评：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，二次函数函数的性质的应用，属于中档题．