【题目】已知抛物线:,点为直线上任一点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,,
(1)证明,,三点的纵坐标成等差数列;
(2)已知当点坐标为时,,求此时抛物线的方程;
(3)是否存在点,使得点关于直线的对称点在抛物线上,其中点满足,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2) ;(3) 存在一点满足题意.
【解析】
(1)设,对求导,则可求出在,处的切线方程,再联立切线方程分析即可.
(2)根据(1)中的切线方程,代入则可得到直线的方程,再联立抛物线求弦长列式求解即可.
(3)分情况,当的纵坐标与两种情况,求出点的坐标表达式,再利用与垂直进行求解分析是否存在即可.
(1) 设,对求导有,故在处的切线方程为,即,又,故
同理在处的切线方程为,
联立切线方程有,化简得,
即的纵坐标为,因为,故,,三点的纵坐标成等差数列.
(2)同(1)有在处的切线方程为,因为,
所以,即,又切线过,则,同理,故均满足直线方程,即
故直线 ,联立 ,
则,
即,解得,故抛物线:.
(3)设,由题意得,则中点,
又直线斜率,故设 .
又的中点在直线上,且中点也在直线上,
代入得.又在抛物线上,则.
所以或.即点或
(1)当时,则,此时点满足
(2) 当时,对,此时,则.
又.,所以,不成立,
对,因为,此时直线平行于轴,又因为,
故直线与直线不垂直,与题设矛盾,故时,不存在符合题意的点.
综上所述,仅存在一点满足题意.
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【题目】九章算术给出求羡除体积的“术”是:“并三广,以深乘之,又以袤乘之,六而一”,其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长,“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离,“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离,用现代语言描述:在羡除中,,,,,两条平行线与间的距离为h,直线到平面的距离为,则该羡除的体积为已知某羡除的三视图如图所示,则该羡除的体积为
A. B. C. D.
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【题目】如图,已知抛物线C顶点在坐标原点,焦点F在Y轴的非负半轴上,点是抛物线上的一点.
(1)求抛物线C的标准方程
(2)若点P,Q在抛物线C上,且抛物线C在点P,Q处的切线交于点S,记直线 MP,MQ的斜率分别为k1,k2,且满足,当P,Q在C上运动时,△PQS的面积是否为定值?若是,求出△PQS的面积;若不是,请说明理由.
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【题目】已知抛物线:,圆:.
(1)若过抛物线的焦点的直线与圆相切,求直线方程;
(2)在(1)的条件下,若直线交抛物线于,两点,轴上是否存在点使(为坐标原点)?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取100桶检测某项质量指标,由检测结果得到如图的频率分布直方图:
(I)写出频率分布直方图(甲)中的值;记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为,试比较的大小(只要求写出答案);
(Ⅱ)佑计在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶,恰有一个桶的质量指标大于20,且另—个桶的质量指标不大于20的概率;
(Ⅲ)由频率分布直方图可以认为,乙种食用油的质量指标值服从正态分布.其中近似为样本平均数,近似为样本方差,设表示从乙种食用油中随机抽取10桶,其质量指标值位于(14.55, 38.45)的桶数,求的数学期望.
注:①同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得:
②若,则,.
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【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足2an=2+Sn.
(1)求证:数列{an}是等比数列;
(2)设bn=log2a2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
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