Question

已知三个点A（2，1），B（3，2），D（-1，4），

（1）求证：AB⊥AD；

（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.

Answer 1

（1）证明：∵A（2，1），B（3，2），D（-1，4），

∴=（1，1），=（-3，3）.

又∵·=1×（-3）+1×3=0，

∴⊥，即AB⊥AD.

（2）解：⊥，四边形ABCD为矩形，∴=.

设C点坐标为（x，y），则由=（1，1），=（x+1，y-4）.

∴解得

∴C点坐标为（0，5）.

从而=（-2，4），=（-4，2），

且||=，||=.

·=8+8=16，

设与夹角为θ，则cosθ=，所以求得矩形两条对角线所成的锐角的余弦值为.