Question

在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，要证明线面垂直，只需证明两个线线垂直．
（Ⅱ）二面角A-BC-D的余弦值即为其平面角∠AED的余弦值，通过△ABC是正三角形，求出即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为△ABC是等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，所以AD⊥CD．
又∠BDC=90°，所以BD⊥CD．因为AD与BD交于点D，所以CD⊥面ABD．
（Ⅱ）解：如图，取BC的中点E，连DE、AE
因为AB=AC，则AE⊥BC．因为BD=CD，则DE⊥BC．
所以∠AED为二面角A-BC-D的平面角．
因为AD⊥BD，AD⊥CD，所以AD⊥面BCD．
设AD=1，则BD=DC=1，AB=AC=BC=

2

．
从而△ABC是正三角形，所以AE=

2

sin60°=

6

2

．
在Rt△ADE中，sin∠AED=

AD

AE

=

6

3

．
所以cos∠AED=

3

3

，
故二面角A-BC-D的余弦值为：

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，以及与二面角相关的综合问题的考查．通过数形结合，以及知识的综合运用，求出结论，属于中档题．