【题目】已知函数 .
(1)若是函数的极值点,求的值及函数的极值;
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)极大值为,极小值为;(2)见解析
【解析】(1)∵ ,
∴,
由已知 ,
解得,
此时, ,
当和时, , 是增函数,
当时, , 是减函数,
所以函数在和处分别取得极大值和极小值.
故函数的极大值为,极小值为.
(2)由题意得 ,
①当,即时,
则当时, , 单调递减;
当时, , 单调递增.
②当,即时,
则当和时, , 单调递增;
当时, , 单调递减.
③当,即时,
则当和时, , 单调递增;
当时, , 单调递减.
④当,即时,
,所以在定义域上单调递增.
综上:①当时, 在区间上单调递减,在区间和上单调递增;
②当时, 在定义域上单调递增;
③当时, 在区间上单调递减,在区间和上单调递增;
④当时, 在区间上单调递减,在区间上单调递增.
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【题目】定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的一个上界.已知函数,.
(1)若函数为奇函数,求实数的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在区间上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在上是以5为上界的有界函数,求实数的取值范围.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD= ,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是( )
A.A′C⊥BD
B.∠BA′C=90°
C.CA′与平面A′BD所成的角为30°
D.四面体A′﹣BCD的体积为
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【题目】已知m,n是两条不同直线,,是两个不同平面,则下列命题正确的是
A.若,垂直于同一平面,则与平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
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【题目】(本题满分12分)已知椭圆过点,且离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)为椭圆的左、右顶点,直线与轴交于点,点是椭圆上异于
的动点,直线分别交直线于两点.证明:恒为定值.
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【题目】圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1: 过点P且离心率为 .
(1)求C1的方程;
(2)若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.
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【题目】某地区上年度电价为元/kWh,年用电量为kWh.本年度计划将电价降低到0.55元/ kWh到0.75元/ kWh之间,而用户期望电价为0.40元/ kWh.经测算,下调电价后新增用电量与实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为),该地区电力的成本价为0.30元/ kWh.
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益与实际电价之间的函数关系式;
(2)设=,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%?(注:收益=实际电量×(实际电价-成本价))
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【题目】我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值,在执行如图算法的程序框图时,若输入的n=5,x=2,则输出V的值为( )
A.15
B.31
C.63
D.127
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