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已知函数f(x)=x2+(lga+2)x+lgb满足f(-1)=-2,且对于任意x∈R恒有f(x)≥2x成立.
(1)求实数a,b的值;
(2)设g(x)=f(x)-2x,若存在实数t,当x∈[1,m]时,g(x+t)≤x恒成立,求实数m的最大值.

解:(1)由f(-1)=-2知,lgb-lga+1=0①,∴a=10b②.
又对于任意x∈R,f(x)≥2x恒成立,即f(x)-2x≥0恒成立,则x2+x•lga+lgb≥0恒成立,故△=lg2a-4lgb≤0,
将①式代入上式得:lg2b-2lgb+1≤0,即(lgb-1)2≤0,故lgb=1,即b=10,代入②得,a=100;
故a=100,b=10.
(2)g(x)=f(x)-2x=x2+2x+1=(x+1)2
∵存在实数t,当x∈[1,m]时,g(x+t)≤x恒成立,即(x+t+1)2≤x恒成立.
∴?t∈R,,即,x∈[1,m]恒成立.
≥1,则-u-u2≤t+1≤u-u2

∵当≥u≥1时,单调递减,故u=1时取得最大值-2;
单调递减,故时取得最小值

,即,化为
又m≥1,解得,解得1<m≤4,
∴实数m的最大值是4.
分析:(1)利用对数的运算法则及对于任意x∈R二次函数f(x)-2x≥0恒成立问题与判别式△的关系即可解出;
(2)把存在实数t,当x∈[1,m]时,g(x+t)≤x恒成立,等价转化为,x∈[1,m]恒成立,进而等价转化,x∈[1,m],利用二次函数的单调性即可解出.
点评:熟练掌握对数的运算法则、二次函数恒成立问题与判别式△的关系、把恒成立问题等价转化、二次函数的单调性等是解题的关键.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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