Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，已知直线与曲线交于不同的两点，.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）：，：；（2）.

【解析】

（1）根据消元法消去参数，得到直线的普通方程，利用，，，将曲线极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）直线参数方程与曲线的直角方程联立，结合直线参数方程的几何意义和根与系数关系，将表示为关于的函数，通过确定的取值范围，即可求解.

（1）因为，所以，

两式相减可得直线的普通方程为.

因为，，，

所以曲线的直角坐标方程，

即.

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，

，

整理得关于的方程.

因为直线与曲线有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，

设为，，则，.

并且，

注意到，解得，故可知，，

因为直线的参数方程为标准形式，所以根据参数的几何意义，

有，

因为，所以，.

因此的取值范围是.