Question

已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．
（1）若α=60°，R=10 cm，求扇形的弧所在的弓形面积；
（2）若扇形的周长是一定值c（c＞0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

Answer 1

【答案】分析：（1）直接求出扇形的面积，求出三角形的面积，然后求出扇形的弧所在的弓形面积；
（2）法一：通过周长关系式，化简扇形的面积公式，得到关于α的表达式，利用基本不等式解答即可．
法二：通过周长关系式，化简扇形的面积公式，得到关于弧长l的表达式，利用二次函数的最值求出最大值，以及圆心角解答即可．
解答：解：（1）设弧长为l，弓形面积为S_弓，
∵α=60°=，R=10，∴l=π（cm），
S_弓=S_扇-S_△=×π×10-×10²×sin60°
=50（-）（cm²）．

（2）法一：∵扇形周长c=2R+l=2R+αR，
∴R=，
∴S_扇=α•R²=α（）²=α•
=•≤．
∴当且仅当α=，即α=2（α=-2舍去）时，扇形面积有最大值．

法二：由已知2R+l=c，∴R=（l＜c），
∴S=Rl=••l=（cl-l²）
=-（l-）²+，
∴当l=时，S_max=，此时α===2，
∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值．
点评：本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，基本不等式以及二次函数的应用，利用基本不等式求最值需要满足“正、定、等”的条件；二次函数注意x的范围；考查计算能力．