【题目】已知函数f(x)=xlnx和g(x)=m(x2-1)(m∈R).
(1)m=1时,求方程f(x)=g(x)的实根;
(2)若对任意的x∈(1,+∞),函数y=g(x)的图象总在函数y=f(x)图象的上方,求m的取值范围;
(3)求证: +
+…+
>ln(2n+1) (n∈N*).
【答案】(1)见解析(2) .(3) 见解析
【解析】试题分析:(1)代入时,
,即
,整理方程得
,利用导数判断函数的单调性为递减函数,故最多有一个零点,而
,故方程
有唯一的实根
;(2)对于任意的
,
恒成立,通过构造函数
,利用导函数判断函数的单调性,
,通过讨论
,判断是否符合题意;(3)由(2)知,当
时,
时,
成立,结合题型,构造不妨令
,得出
,利用累加可得结论.
试题解析:(1) 时,
,即
,而
,所以方程即为
.
令,则
,而
,故方程
有唯一的实根
.
(2)对于任意的,函数
的图象总在函数
图象的上方,
即,
,即
,
设,即
,
,则
①若,则
,
,这与题设
矛盾.
若,方程
的判别式
,
当,即
时,
∴在
上单调递减,
∴,即不等式成立.
当,即
时,方程
有两个实根,设两根为
,
且
,则
∴方程有两个正实根且
当时,
,
单调递增,
与题设矛盾.
综上所述,实数的取值范围是
.
(3)证明 由(2)知,当时,
时,
成立.
不妨令
∴,即
∴,累加可得
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【题目】已知函数f(x)=x(1-)是R上的偶函数.
(1)对任意的x∈[1,2],不等式m·≥2x+1恒成立,求实数m的取值范围.
(2)令g(x)=1-,设函数F(x)=g(4x-n)-g(2x+1-3)有零点,求实数n的取值范围.
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【题目】直角三角形中,
是
的中点,
是线段
上一个动点,且
,如图所示,沿
将
翻折至
,使得平面
平面
.
(1)当时,证明:
平面
;
(2)是否存在,使得
与平面
所成的角的正弦值是
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知中心在原点O,左焦点为F1(-1,0)的椭圆C的左顶点为A,上顶点为B,F1到直线AB的距离为|OB|.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,若椭圆,椭圆
,则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆.已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆,若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M、N,试求弦长|MN|的取值范围.
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【题目】如图,长方体中,
,
,点
,
,
分别为
,
,
的中点,过点
的平面
与平面
平行,且与长方体的面相交,交线围成一个几何图形.
(1)在图中画出这个几何图形(说明画法,不需要说明理由);
(2)求二面角 的余弦值.
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【题目】金砖国家领导人第九次会晤于2017年9月3日至5日在中国福建厦门市举行,为了在金砖峰会期间为来到厦门的外国嘉宾提供服务,培训部对两千余名志愿者进行了集中培训,为了检验培训效果,现培训部从两千余名志愿者中随机抽取100名,按年龄(单位:岁)分组:第1组,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者前去机场参加接待外宾礼仪测试,则应从第3,4,5组中各抽取多少名志愿者?
(2)在(1)的条件下,若在第3,4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍接待外宾经验感受,求第4组至少有1名志愿者被抽中的概率.
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
和
,离心率是
,直线
过点
交椭圆于
,
两点,当直线
过点
时,
的周长为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)当直线绕点
运动时,试求
的取值范围.
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