Question

已知D是△ABC边BC延长线上一点，记

AD

=λ

AB

+（1-λ）

AC

．若关于x的方程2sin²x-（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，则实数λ的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据题意，由D是BC延长线上一点，

CD

=（-λ）

BC

，得到λ＜0；令sinx=t，方程2t²-（λ+1）t+1=0在（-1，1）上有唯一解，（2-（λ+1）+1）•（2+（λ+1）+1）＜0①，或△=（λ+1）²-8=0②，解出λ 范围．

解答：解：∵

AD

=λ

AB

+（1-λ）

AC

=

AC

+λ（

AB

-

AC

 ）=

AC

+λ

CB

=

AC

+（-λ）

BC

．
又∵

AD

=

AC

+

CD

，∴

CD

=（-λ）

BC

，由题意得-λ＞0，∴λ＜0．
∵关于x的方程2sin²x-（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，令sinx=t，由正弦函数的图象知，
方程 2t²-（λ+1）t+1=0 在（-1，1）上有唯一解，
∴[2-（λ+1）+1]•[2+（λ+1）+1]＜0  ①，或△=（λ+1）²-8=0  ②，
由①得 λ＜-4 或λ＞2（舍去）．  由②得  λ=-1-2

2

，或 λ=-1+2

2

（舍去）．
故答案为 λ＜-4或λ=-1-2

2

．

点评：本题考查一元二次方程根的分布，两个向量加减法及其几何意义，有题意得到方程 2t²-（λ+1）t+1=0在（-1，1）上有唯一解是解题的难点．