【题目】定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆
．
（1）若椭圆
，判断
与
是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆相似且短半轴长为
的椭圆
的方程；若在椭圆上存在两点
、
关于直线
对称，求实数的取值范围．
【答案】(1)相似;相似比为
;(2)
;
.
【解析】
(1)分别求出两个椭圆的特征三角形的腰长
和底边长2
,进而求出两个椭圆的相似比;
(2)由题意易得与椭圆
与椭圆
的相似比为1:
,进而可求得椭圆得长半轴长,即可得椭圆的方程为;设直线方程
为
,联立直线方程和椭圆的方程消元化简，借助于与的交点关于
对称和根的判别式大于零,可求得的取值范围.
(1)由题意知:椭圆的特征三角形是腰长为
=2,底边长2
=2
的等腰三角形; 椭圆
的特征三角形是腰长为
=4,底边长2
=4的等腰三角形,则由
,得两个三角形相似,所以可得椭圆与椭圆相似,且相似比为;
(2)由椭圆和椭圆相似,且短半轴长分别为1和,可得相似比为1:
,则可得椭圆的长半轴长为2,所以椭圆的方程为:
;
由题意设直线
为,点M
,N
,中点坐标为(
),
联立
消元化简得:
∴
∴
,
, ∴中点坐标为(
,
)
由中点在直线上,可得
=+1,解得
=
,
由直线与椭圆有两个不同的交点得
,
代入=解得
.
故实数的取值范围为
发散思维新课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的前三组的频率之比为1：2：3，其中体重在
的有5人.
（1）求该校报考飞行员的总人数；
（2）从该校报考飞行员的体重在
学生中任选3人，设
表示体重超过70
的学生人数，求的分布列和数学期望.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，椭圆
经过点
，且点
到椭圆的两焦点的距离之和为
.
（l）求椭圆
的标准方程；
（2）若
是椭圆上的两个点，线段
的中垂线
的斜率为
且直线与交于点
，
为坐标原点，求证：
三点共线．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
的最大值为
，其图像相邻两条对称轴之间的距离为
，且
的图像关于点
对称，则下列判断正确的是（）
A. 函数在
上单调递增
B. 函数的图像关于直线
对称
C. 当
时，函数的最小值为
D. 要得到函数的图像，只需要
将的图像向右平移
个单位
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数）.以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的参数方程；
（2）若曲线
与曲线，在第一象限分别交于
两点，且
，求
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】抛物线
：
过点
.
（1）求抛物线的方程；
（2）设
为
轴上一点，
为抛物线上任意一点，求
的最小值；
（3）过抛物线的焦点
，作相互垂直的两条弦
和
，求
的最小值.
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